Partant de l'expression

D {h } = a (t 0 ) ∫

t 0   t *

c d t ––––––– a (t)

,

on effectue un changement de variable, où l'on remplace le temps t par la facteur d'échelle a, en utilisant la formule donnant le taux d'expansion H de l'univers,

H =

1 –– a

da ––– dt

,

d'où

dt =

1 –– H

da ––– a

.

On obtient alors

D {h } = a (t 0 ) ∫

t 0   t *

c ––––––– H (a)

d a ––––– a 2

,

le taux d'expansion étant alors vu non pas comme une fonction du temps t, mais du facteur d'échelle a. On définit ensuite x comme le facteur d'échelle normalisé à aujourd'hui, à savoir

x =

a (t) ––––––––– a (t 0 )

=

1 ––––––– 1 + z

, d'où

D {h } =  ∫

t 0   t *

c ––––––– H (x)

d x ––––– x 2

.

En notant H ₀ la valeur actuelle du taux d'expansion, on a

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

H 0 ––––––– H (x)

d x ––––– x 2

,

la borne d'intégration correspondant à la valeur de x à l'époque t _* . Les équations de Friedmann permettent de relier le taux d'expansion aux densités d'énergie ρ _i du contenu matériel de l'univers selon (voir Équations de Friedmann)

3

(

H 2 ––– c 2

+

K ––– a 2

)

= κ

Σ i

ρ i

,

la constante κ étant la Constante d'Einstein. Les densité d'énergie des espèces concernées sont des fonction du temps, et donc du facteur d'échelle. Pour une espèce dont le rapport de la Pression à la densité d'énergie est w _i , la densité varie en fonction du facteur d'échelle selon (voir Équation de conservation (cosmologie))

ρ _i ∝ a ^{- 3 ( 1   +   w _i )} .

Sans perte de généralité, on peut donc écrire les densités fonction des densité d'énergie actuelles ρ _i ⁰ selon

ρ _i = ρ _i ⁰ x ^{- 3 ( 1   +   w _i )} ,

la quantité w _i étant une constante ou une fonction de temps (ou de x, ce qui revient au même).

En définissant la Densité critique actuelle par

ρ {c } =

3 H 0 ––––– κ

,

il vient, en divisant par 3 H ₀ ² / c ² ,

H 2 ––––– H 0 2

+

K c 2 –––––––– H 0 2 a 2

=

Σ i

Ω 0 i x - 3 ( 1   +   w i )

,

les quantité Ω ⁰ _i étant les paramètres de densité actuels, définis par le rapport ρ ⁰ _i / ρ {c }. En évaluant cette équation aujourd'hui (où H = H ₀ et x = 1), il vient

1 +

K c 2 ––––––––– H 0 2 a 0 2

=

Σ i

Ω 0 i

,

On a ainsi

K c 2 –––––––– H 0 2 a 2

=

K c 2 ––––––––– H 0 2 a 0 2

1 ––– x 2

= -

(

1 -

Σ i

Ω 0 i

)

1 ––– x 2

,

pour finalement obtenir

H 2 ––––– H 0 2

=

Σ i

Ω 0 i x - 3 ( 1   +   w i ) +

(

1 -

Σ i

Ω 0 i

)

1 ––– x 2

.

La quantité D recherchée s'exprime donc selon

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

frac{d x }

{

√{

Σ i

Ω 0 i x 1   -   3 w i  +

(

1 -

Σ i

Ω 0 i

)

x 2 n</div> n</div></div></div>

.

Dans le cas où le contenu matériel de l'univers se réduit à de la radiation (pression égale à un tiers de la densité d'énergie, w {r } = 1 / 3), de la matière non relativiste (pression négligeable, w {m } = 0) et une constante cosmologique (pression opposée à la densité d'énergie, w = -1), alors on retrouve bien

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– √( Ω 0 {r } + Ω 0 {m } x +(1 - Ω 0 {r } + Ω 0 {m } + Ω 0 Λ) x 2 + Ω 0 Λ x 4 )

.

}}

Application au modèle standard de la cosmologie

Le modèle standard de la cosmologie bâti à partir de l'ensemble des observations cosmologiques (et compatibles avec elles) indique que la Densité d'énergie sous forme de rayonnement est négligeable devant les autres formes (matière et énergie noire), ce qui équivaut à dire que le terme Ω {r } ⁰ peut être négligé. De plus, le modèle exclut une valeur notable de la Courbure spatiale, ce qui signifie que la somme des paramètre de densité vaut 1. Au final, il reste donc

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– √( Ω 0 {m } x + (1 - Ω 0 {m }) x 4 )

.

La quantité c / H ₀ est appelée Rayon de Hubble. Avec la valeur communément admise de 70 kilomètres par seconde et par mégaparsec pour la constante de Hubble, la rayon de Hubble est d'environ 14 milliards d'années lumière. Le terme dans l'intégrale ne peut être calculé analytiquement, mais une intégration numérique peut être effectuée sans difficulté en prenant pour Ω {m } la valeur communément admise d'environ 0,3. L'on trouve alors que l'intégrale est légèrement supérieurs à trois, que la borne d'intégration soit de 0 (on considère la distance maximale parcourue par tout signal émis depuis le Big Bang) ou d'un millième (corrspondant à un photon du fond diffus cosmologique, émis lors de la recombinaison. Au final, on retrouve bien la valeur de l'ordre de 45 milliards d'années lumière annoncée plus haut.

Cas particuliers

Dans le cas où l'univers possède la densité critique et n'est composé que d'une espèce, dont le rapport de la pression à la densité d'énergie est w, on a

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x –––––––––––––––– √(x 1   -   3 w )

.

Cette intégrale peut être évalué dans plus cas

Univers de radiation (w

1/3) ===

On a immédiatement

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x~eq

c ––– H 0

,

l'égalité ci-dessus étant approximativement car on n'a pas tenu compte de la valeur exacte de la borne inférieure (prise à 0 ici alors qu'elle pourrait être prise à une valeur légèrement positive). Dans ce cas, la taille de l'horizon correspond exactement au rayon de Hubble.

Univers de poussière (w

0) ===

On a désormais

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x ––––– √x

~eq 2

c ––– H 0

.

Dans ce cas, la taille de l'horizon correspond exactement au double du rayon de Hubble.

Univers à équation d'état constante

Plus généralement, on a, dans le cas où w est constant et supérieur à - 1 / 3,

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

x

3 w   -   1 – – – – – – – – – 2

d x~eq

2 ––––––––– 3 w + 1

c ––– H 0

.

D'une manière générale, plus l'équation d'état est « dure » (c'est-à-dire w grand), plus la taille de l'horizon est faible en unité du rayon de Hubble. Ceci peut être rendu plus explicite en utilisant la relation existant entre âge de l'univers t ₀ et rayon de Hubble. Les équations de Friedmann indiquent que

t 0 =

2 –––––––––––– 3 (1 + w)

1 ––– H 0

.

En combinant ces deux derniers résultats, il vient

D {h }~eq

3 w + 3 ––––––––– 3 w + 1

c t 0

.

Ce résultat tend vers c t ₀ quand w tend vers l'infini. Cela s'interprète par le fait que cette limite correspond en fait au cas idéalisé où la matière tend à être incompressible (une variation de pression arbitrairement grande donnant lieu à une petite variarion de densité, ce qui est le cas si P = w ρ est grand car alors δ P / δ ρ = w ≫ 1). Dans ce cas, une telle matière a tendance à arrêter sa phase d'expansion le plus rapidement possible (elle s'oppose à une variation de son volume), ce qui fait que la phase d'expansion qui suit immédiatement le Big Bang s'arrête très vite, et que l'expansion tend à cesser. Dans un tel cas, on est dans une situation identique à celle de l'Espace de Minkowski où au bout du temps t ₀ on peut recevoir des signaux distants de c t ₀ . À noter cependant que le cas w > 1 est a priori physiquement irréaliste, car l'équation d'état est acausale : la Vitesse du son dans un tel fluide, donnée par

c s = c

√

–––––––––––– δ P / δ ρ

dépasse celle de la lumière. À noter aussi qu'à l'inverse l'intégrale divergence quand w tend vers la valeur -1/3 (voir ci-dessous).

Univers de Milne (w

- 1/3) ===

L'Univers de Milne correspond à un espace vide de matière. Dans ce cas, tous les paramètres de densité sont nuls, ce qui formellement, du point de vu des équations de friedmann, peut s'interpréter comme un univers ayant la densité critique et un paramètre d'équation d'état w égal à -1/3. Il vient

D {h } =

c ––– H 0

∫

1   *

d x ––––– x

=

c ––– H 0

ln(1 + z *)

.

La primitive à calculer donne un logarithme. Il faut ici prendre soigneusement en compte la valeur de la borne inférieure. Si elle est nulle (z _* → ∞), alors l'intégrale est infinie. Ce résultat tend à indiquer qu'il n'y a alors pas d'horizon, c'est-à-dire que toute région de l'univers est accessible à l'observation. Ceci peut se comprendre en remarquant que l'univers de Milne peut être vu comme une portion de l'espace de Minkowski, avec une origine d'où sont issues les particules fictives qui marquent l'expansion de l'univers en se déplaçant à vitesse constante (voir Univers de Milne). Dans un tel cas, toute les lignes d'univers de ces particules fictives d'intersectent les unes les autres à l'origine et sont donc toutes dans le cône de lumière passé des unes et des autres, ce qui fait que la totalité de l'univers est nécessairement observable. Si par contre on met une orne inférieure non nulle à l'intégrale, on impose de ne recevoir que des signaux dont le décalage vers le rouge n'excède pas une certaine valeur, c'est-à-dire issues de particules dont la vitesse n'excède pas une certaine valeur. Dans ce cas, seule une portion finie de cet univers est effectivement accessible.

Univers en accélération (w < -1/3)

Dans le cas où le paramètre de l'équation d'état est inférieur à -1/3, l'intégrale diverge également pour une borne inférieure nulle :

D {h } =

c ––– H 0

2 ––––––––– 3 w + 1

. Il n'y a donc pas d'horizon cosmologique dans un tel espace, et en particulier pour l'Univers de de Sitter.

Relation avec les théorèmes sur les singularités

Ces résultats, en particulier le fait que l'univers possède un horizon quand le paramètre de l'équation d'état w est toujours supérieur à -1/3 s'avère être un cas particulier des théorèmes sur les singularités de Stephen Hawking et Roger Penrose. La contrainte imposée à w est en effet équivalent à la condition forte sur l'énergie, supposée pour permettre la validité de ces théorèmes. Une autre conséquence est que l'univers est alors, dans le cadre de la relativité générale, nécessairement issu d'une singularité gravitationnelle. Il est cependant relativement avéré aujourd'hui que la condition forte sur l'énergie n'a pas forcément été respectée dans l'Univers primordial (voir ci-dessous). Dans ce cadre, le fait que l'univers observable s'étende sur une région finie ne préjuge pas du fait qu'il soit issu d'une singularité.

Relation avec le problème de l'horizon

Article détaillé : .

En observant l'univers le plus loin possible dans deux directions opposées, on voit des régions séparées du double de la taille de l'horizon. Ces deux régions n'ont par définition pas eu la possibilité de communiquer entre elles. Il serait dans ce cas logique de s'attendre à ce que ces régions possèdent des propriétés différentes. Observationnellement il n'en est rien. Ce fait observationnel est appelé du nom de problème de l'horizon. La solution au problème de l'horizon s'obtient en considérant un scénario dans lequel la taille de l'univers observable (délimité par la limite de la surface de dernière diffusion, et en tenant compte de la borne inférieure d'intégration non nulle, 1 / (1 + z _* ) ne correspondant pas du tout à la taille réelle de l'horizon, considérée en prenant une borne d'intégration nulle (ou arbitrairement petite, si l'on considère par exemple que les lois de la physique telles que nous les connaissons commencent à être valable au sortir de l'ère de Planck). Pour ce faire, l'on est amené à considéré un scénario où l'évolution du taux d'expansion de l'univers est significativement différentes à des époques anciennes (correspondant aux petites valeurs de x dans l'intégrale). Les scénarios sont amenés alors à considérer des situations où l'expression

√	––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Ω 0 {r } + Ω 0 {m } x +(1 - Ω 0 {r } + Ω 0 {m } + Ω 0 Λ) x 2 + Ω 0 Λ x 4

, proportionnelle au rapport du taux d'expansion à l'époque où le facteur d'échelle était x fois plus petit qu'aujourd'hui au taux d'expansion actuel, doit être remplacé par une expression qui tend vers 0 (ou en tout cas est très petite) quand x tend vers 0. Cela peut se produire si la matière qui existe à cette époque possède un paramètre w inférieur à -1/3.

Voir aussi

• Horizon des événements
• Univers observable
• Fond diffus cosmologique
• Fond cosmologique de neutrinos
• Fond cosmologique d'ondes gravitationnelles
• Problème de l'horizon
• Horizon (trou noir)
• Univers de Milne
• Distance de l'horizon cosmologique dans un univers de Friedmann

Références

• Voir Ouvrages spécialisés sur la cosmologie

Note